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Serbatoio tronco di cilindro


Lucky67
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Mi scuso se posto in questa sezione ma ho visto che la sezione di matematica è poco frequentata e dopotutto si tratta sempre di una "regolazione".

Ho un serbatoio a forma di tronco di cilindro (tipo fetta di salame cacciatore tanto per intenderci) in cui ho la possibilità con un sensore piezometrico di sapere l'altezza del liquido...non riesco però (credo per miei limiti matematici) a calcolare il volume per ogni variazione di altezza...mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o la funzione è più complicatella di quello che vuole sembrare....?

P.S. Il tronco è con il "vertice" verso il basso e lo si può immaginare come un cilindro tagliato da un piano diagonale che va da un'estremità di un diametro superiore all'estremità del diametro inferiore opposto. Spero di essermi spiegato.

Grazie

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Livio Orsini
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Spero di essermi spiegato.

 

Non tanto, sarebbesicuramente più esaustivo un disegno quotato.

Comunque dividi il problema in 2.

Taglia con un piano orizzontale che va ad incontrare lacirconferenza del cilindro nel punto in cui incomicia la parte obliqua. Il cilindro risultante è un cilidro normale.

La parte restante ha un volume che è la metà del volume di un cilindro avente la medesima superficie di base e la medesima altezza.

 

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Livio Orsini

Allora V = (pi * r2 * H2 ) / 2

Se H1 <> 0 ===> V = ((pi * r2 * H2 ) / 2 ) + (pi * r2 * H1 )

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Certo...con H1=0 e con serbatoio pieno In H2 c'ero arrivato anche io...ma se sono ad esempio ad H/2 ? Concordi con me che il volume non può essere la metà e quindi la funzione non è così semplice come è a prima vista...

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Dovrebbe essere cosi :

 

66595bf1b1cf6ab83af413430d08dd65.jpg


 

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 la funzione non è così semplice come è a prima vista...


 

Ma neanche tanto complessa , se ci arrivo io ....:thumb_yello:

Nella espressione di Livio manca il '' - H1 ''

 

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La cosa diventa un po' più complicata se H1 assume valori negativi...che lo può fare , se misuri il livello dalla parte più alta ( H 2 ) .

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Grazie Gabri ma credo che siamo fuori strada..la formula per il calcolo del volume del tronco di cilindro è quella che ho postato e quindi per H2=0 è semplicemente metà del vulume del cilindro intero (un piano diagonale lo taglia a metà).

Il mio problema è però sapere, all'interno di un volume delimitato da r e H2 (H1=0) il valore del volume per ogni h  compreso tra 0 e H2 (0<=h<=H2). 

P.S. Non so cosa intendi per H negativi...un volume non può essere negativo!!

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 Non so cosa intendi per H negativi...un volume non può essere negativo!!

Certo che NO , ma dal tuo disegno , gli H1 e H2 sono altezze e non volumi . Per l'angolo dato , la differenza H2-H1 è costante , per cui , se il H2 ha un valore minore di questa costante , si può dire che H1 è negativo e non vale più   V=1/2 X pi X r2 X H2 

 

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e quindi per H2=0 è semplicemente metà del vulume del cilindro intero (un piano diagonale lo taglia a metà).

Hai ragione , siamo :

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credo che siamo fuori strada.

 

 

 

Stai un po attento e vedrai che torna tutto :thumb_yello:

 

Perché non fai un disegno a mano del esatto '' coso '' ?

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Il disegno è quello che ho postato gabri. Metti H1=0 in modo che l'altezza collassi sul diametro e la figura è quella. Io continuo a brancolare nel buio e sono felice che tu abbia la soluzione anche se io non ci arrivo...

Dimmi ad esempio quanto è il volume se sono ad H2/2 ? E' chiaro che non posso usare la formula perchè è impossibile che il volume sia la metà dimezzando l'altezza!! Nella mia ignoranza credo che debba essere trovata una funzione che leghi le grandezze H2 e il volume ma purtroppo mi rendo conto di non avere (credo) le conoscenze matematiche per estrapolarla.

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Livio Orsini
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il valore del volume per ogni h  compreso tra 0 e H2 (0<=h<=H2). 

 

Semplice.

Misuri il livello, tagli al livello con un piano orizzontale ed hai esattamente la formula come nel caso di H2 = 0

 

Faccio un esempio.

Ammettiamo che il tuo serbatio abbia un'altezza H = 10 m. ed un raggio di 2 m.

 

Se fai una sezione con unpiano verticale passante per il centro avrai uan superficie di sezione che è esattamente un triangolo rettangolo, i cui cateti sono H e 2*r, nel caso in oggetto H = 10 m e base = 4m.

Ammettiamo ora che il tuo misuratore di livello segnali un'altezza di 6 m; per uno dei tanti teoremi sui triangoli, che mi guardo bene dal dimostrare in questa sede:smile:, si avrà 6 : 10 = x :4 per cui il raggio del semicilindro sarà pari a ((6*4)/10)/2 = 1.2 m

 

A questo punto basta applicare la formula di prima V = (pi * r2 * H2 ) / 2 

Il solido superiore, o inferiore secondo collocazione, non è altro che un cilidro diviso a metà da un piano che interseca il cilindro esattamente in modo tangente ai 2 punti opposti delle circonferenze superiore ed inferiore, quindi il suo volume è esattamente la metà di cilindro avende altezza = h e base di raggio r.

Però diminuendo l'altezza, la base non è più un cerchio, ma è solo un settore di cerchio con una parte rettificata. (un purista avrebbe da ridire sulla terminologia, ma spero che si capisca egualmente)

Se l'altezza fosse vicina all'altezza massima, l'errore commesso sarebbe trascurabile man mano che l'altezza scende l'errore dovuto alla "fetta" mancante diventa significativo.

Bisognerebbe verificare, con le dimensioni reali, quanto incide veramente l'errore.

 

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Nella espressione di Livio manca il '' - H1 '' .

 

No perchè la mia espressione è la somma dei volumi dei 2 solidi

 

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Ho considerato il disegno come '' indicativo'' dato che nessun liquido (che io conosca ) può fare quel angolo con l'orizzontale (se non sottoposto a qualche forza , come quella centrifuga ) ;se per caso è cosi , entriamo in campo '' minato '':thumb_yello:

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Credo che Livio abbia fatto Bingo: soluzione semplice elegante e..autocogl....ante (potevo arrivarci anche io).Adesso faccio un pò di verifiche ma credo che sia la cosa che cercavo. Grazie

 

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Ho considerato il disegno come '' indicativo'' dato che nessun liquido (che io conosca ) può fare quel angolo con l'orizzontale (se non sottoposto a qualche forza , come quella centrifuga ) ;se per caso è cosi , entriamo in campo '' minato '':thumb_yello:

Non l'ho capita....

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Se H1 <> 0 ===> V = ((pi * r2 * H2 ) / 2 ) + (pi * r2 * H1 )

Parlavo di questa , dove , secondo me , il '' H2'' andrebbe sostituito con '' H2-H1 '' 

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Non l'ho capita...

Come fa il tuo liquido a fare quel angolo , diverso dallo zero , con l'orizzontale ? 

 

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Credo che Livio abbia fatto Bingo: soluzione semplice elegante e..autocogl....ante (potevo arrivarci anche io).Adesso faccio un pò di verifiche ma credo che sia la cosa che cercavo. Grazie

 

Ridi , ridi , prova con valori del livello sotto i 4 m ; e comunque non dice tutto , perché manca l'angolo o il valore (H2-H1) ,sei ancora nel buio ...:(

 

P.S. Siamo certi che si tratti di un tronco di ''cilindro e non di cono '' ? .Mi sembrava strano il termine , nella mia lingua inesistente , ma mi sono fidato , anche se , leggendo di nuovo il primo messaggio , i dubbi mi tornanno 

 

Lo trovato :thumb_yello: .

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Livio Orsini

Non è un liquido, almeno da come lo descrive lucky, ma è un solido che contiene un liquidi.

Immagina di prendere un cilindro, poi tagliarlo esattamente a metà in diagonale con un piano.

Questo è il serbatoio descritto. La porzione di piano è una solida parete, probabilmente lamiera. Il liquido introdotto si dispone esattamente ad occupare lo spazio vuoto tenuto fermo dalla forza di gravità.

 

Se vuoi divertirti a verificarlo, prendi un tubo di materiale sufficientemente rigido tagliane una porzione di qualche cm e poi affettalo esattamente come descritto.

Tappa la "ferita" con un foglio di materiale simile e poi prova a versarvi dell'acqua con un misuratore di volume da cucina. Vedrai che la teoria corrisponde.

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Non è un liquido, almeno da come lo descrive lucky, ma è un solido che contiene un liquidi.

Esatto!! Ho parlato di serbatoio infatti...per la precisione il serbatoio è cilindrico nella parte superiore e a tronco di cilindro come discusso nella parte inferiore. Io avevo già diviso il problema in due non considerando la parte superiore (lì la cosa è banale) concentrandomi sulla forma "strana" descritta.

 

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Se vuoi divertirti a verificarlo, prendi un tubo di materiale sufficientemente rigido tagliane una porzione di qualche cm e poi affettalo esattamente come descritto.

Tappa la "ferita" con un foglio di materiale simile e poi prova a versarvi dell'acqua con un misuratore di volume da cucina. Vedrai che la teoria corrisponde

Ho fatto una verifica un pò più "teorica" aiutandomi anche con excel e direi che hai colto nel segno..:thumb_yello:

Credo di essermi iscritto all'UCAS per via che continuavo a vedere problematico la parte elissoidale della figura ma effettivamente immaginando la sezione triangolare con un piano verticale si è accesa la lampadina!!

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Ho parlato di serbatoio infatti...per la precisione il serbatoio è cilindrico nella parte superiore e a tronco di cilindro come discusso nella parte inferiore.

Cioè , esattamente l'opposto .

Per la mia curiosità , visto che misuri il '' livello '' con un sensore , se il livello si trova sotto il punto in qui il liquido tocca la parete opposta , come calcoli il volume , già che il raggio (noto ) non vale più nulla ?

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Scusa opposto di che..ho solo completato l'informazione proprio per coloro come te che hanno usato la gentilezza di aiutarmi..la parte cilindrica del serbatoio non l'ho neanche descritta perchè è un non problema...il mio problema erà calcolare il volume della parte tronco-cilindrica in funzione dell'altezza del liquido che mano mano scende..una volta che la forma tronco cilindrica è finita sommo il valore ottenuto con il valore di volume di un cilindro con altezza variabile (se il liquido ci arriva naturalmente).

Non capisco cosa intendi per "esattamente l'opposto"...:huh:

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Se vuoi divertirti a verificarlo, prendi un tubo di materiale sufficientemente rigido tagliane una porzione di qualche cm e poi affettalo esattamente come descritto

Livio , io faccio impianti per piscine , hai idea di quanti tubi , vasche e vaschette , dritte o storte etc, possa vedere in una settimana ?

 

:superlol::thumb_yello:

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Incuriosito da questo calcolo ho visto che un calcolo preciso non è per niente facile da fare, ho trovato queste formule:

 

calcolo volume tronco di cilindro

 

che permettono una calcolo aprossimativo ma penso soddisfacente.

 

Comunque personalmente farei una tabella con una decina di misure reali di liquido per poi interpolare i valori.

 

Ciao

 

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Livio Orsini
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Incuriosito da questo calcolo ho visto che un calcolo preciso non è per niente facile da fare, .....

 

Infatti a vevo scritto:

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Però diminuendo l'altezza, la base non è più un cerchio, ma è solo un settore di cerchio con una parte rettificata. (un purista avrebbe da ridire sulla terminologia, ma spero che si capisca egualmente)

Se l'altezza fosse vicina all'altezza massima, l'errore commesso sarebbe trascurabile man mano che l'altezza scende l'errore dovuto alla "fetta" mancante diventa significativo.

 

 

 

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Comunque personalmente farei una tabella con una decina di misure reali di liquido per poi interpolare i valori.

 

Il problema è che non è lineare.

La parte iniziale è molto simile ad un cilindro dimezzato, mentre la parte prossima all'apice può essere assimilata ad una piramide traingolare con errore piccolo. Nel mezzo si tratta di una piramide mistilinea.

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Il problema è che non è lineare.

 

Non intendevo di trovare un unica retta ma più rette per la zona troncata che è quella critica.

 

Ciao

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