Numeri divisibili per 11

[emanuele.croci]

Ciao,

...Direttamente dal turno eliminatorio dei Campionati Matematici 2007, che si è disputato sabato scorso, vi propongo il seguente problema:

- Consideriamo le 10 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 e mescoliamole a formare un qualsiasi numero di 10 cifre tutte diverse (e che NON inizia per zero):

ad es. 5127683409, oppure 4183290756

LA DOMANDA E':

Quanti di questi numeri sono divisibili per 11 ??

Chi sa dirlo ....?

Ciao, Emanuele

[DG.M]

Comincio io anche se non ne ho la più pallida idea.. ..ho provato una scomposizione in fattori del numero maggiore ottenibile ma son fuori strada...

Intanto le combinazioni possibili sono 10!-9!

E' già qualcosa.. Chissà se c'è una relazione tra tutti questi numeri in modo da poterli definire matematicamente..

..ci provo stasera

Modificato: 27 marzo 2007 da mimmux

[dak_71]

625

[DG.M]

no non c'entra nulla..

Anzi: 11 ha la caratteristica per cui il numero di 10 cifre/11 da un numero che sommato a (numero.10), cioè moltiplicando questo numero per 11 come si faceva alle elementari si somma il numero il suo shift a sinistra, che finisce quindi sempre per zero.

Questo significa che il dividendo deve essere sempre di 9 cifre, le chiamo

abcdefghi

il numero finale deve essere della forma

a a+b b+c c+d d+e e+f f+g g+h h+i i

basta continuo a lavorare ci penso veramente dopo.. ..però ho il tarlo ora..

[emanuele.croci]

ACQUA....ne devi aggiungere parecchi!!

Ciao, Emanuele

[emanuele.croci]

Per dare un aiutino (se non sapete questo non ci salterete mai fuori):

Rammento che un numero è divisibile per 11 quando:

SOMMA DELLE CIFRE DI POSTO PARI -

SOMMA DELLE CIFRE DI POSTO DISPARI=

numero divisibile per 11 (-22,-11,0,11,22,33,44,....)

Ad es.:

9361 è divisibile per 11 in quanto

9+6=15

3+1=4

15-4=11 che è divisibile per 11

infatti: 9361:11=851, resto =0

A questo punto, direte voi, il problema diventa una baggianata!!

Ciao, Emanuele

[dak_71]

con 625 mi sono fermato troppo presto ( ho peccato di presunzione)

4750?

Modificato: 28 marzo 2007 da dak_71

[emanuele.croci]

mi spiace... devi salire ancora...

prova magari a spiegare il tuo procedimento, forse sei fuori strada.

Il modo per risolvere il problema c'è e non è nemmeno troppo difficile, però deve essere svolto secondo una certa sequenza logica, senza la quale per me è impossibile saltarci fuori.

(la base è il criterio dei numeri divisibili per 11 che ho già dato come indizio...)

Ciao, Emanuele

[dak_71]

Infatti è 6625, h sbagliato a fare le somme (asino!)

La regola della divisione per undici l'ho applicata subito

a-b+c-d+e-f+g-h+i-l = 11

(a+c+e+g+i) - (b+d+f+h+l) = 11 (=0, 22 e 33 sono impossibili (sempre credo))

... ma mi sono "illuso" che trovata la priima combinazione di 5+5 numeri fosse anche l'unica

(5*5)² =625

Invece ci sono (credo) 11 combinazioni, 2 con lo 0 in testa (non ammesso) pertanto

(5*5)² =625 * 9 = 5625

(4*5)*(5*5) *2 = 1000

Totale 6625

Modificato: 28 marzo 2007 da dak_71

[emanuele.croci]

Complimenti... sei sulla buona strada!

6625 è ancora sbagliato, però se hai capito che ci sono 11 combinazioni di partenza (2 con lo zero, 9 senza lo zero), allora sei a buon punto!

Hai già risolto più di metà del problema, però devi mettere qualcos'altro al posto di quel 625 che è sbagliatissimo.

Ciao, Emanuele

[dak_71]

Infatti ci stavo pensando, devo usare i fattoriali vero? Non me li ricordo per niente, mi sembra che da 135360, ma non credo sia giusto per quei zeri all'inizio.

Modificato: 28 marzo 2007 da dak_71

[emanuele.croci]

Esatto!

Supponiamo che tu abbia 5 oggetti diversi, ad es. le cifre 12347 (tu sai cosa intendo...).

IN QUANTI MODI DIVERSI puoi disporli?

Cioè QUANTI numeri diversi puoi creare a partire da queste 5 cifre?

...prendiamo invece altri 5 oggetti del tipo:

02357 (anche qui hai capito l'antifona )

IN QUANTI MODI DIVERSI POSSO DISPORLI? (...considerando che lo zero non può stare all'inizio)

Ti stai avvicinando al risultato, ma ce ne manca ancora....

Ciao, Emanuele

P.S. a proposito, sopra ho detto 2 CON LO ZERO E 9 SENZA LO ZERO. In realtà è il contrario...

Modificato: 28 marzo 2007 da emanuele.croci

[dak_71]

Purtroppo matematicamente parlando ho il cervello veramente arruginito, la logica l'ho capita praticamente subito, ma la mia "teoria" fa acqua da tutte le parti.

Allora, ricapitolando ho:

9 possibilità senza 0 iniziale, quindi 5! (si scrive ancora così 5 fattoriale?) =120

120² = 14400

14400 * 9 = 129600

poi ho le due combinazioni con 0 iniziale (non ammesse)

quindi 4! = 24

24 * 5! = 2880 combinazioni non ammesse quindi

14400-2880 = 11520 combinazioni ammesse

2 * 11520 = 23040 combinazioni ammesse per i due casi di 0 iniziale e

23040 + 129600 = 152640 numeri divisibili per 11

Più di così non so fare! se ci sono riuscito bene, altrimenti mi toccherà fermarmi al 99° cancello!

[emanuele.croci]

Guarda, ci sei molto molto vicino....

Un gruppo SENZA un "possibile" ZERO iniziale genera davvero 14400 combinazioni

Un gruppo CON un "possibile" ZERO iniziale genera davvero 11520 combinazioni....

tuttavia ci manca ancora un pezzetto

(pensa alle parole senza/con/possibile....)

Provane ancora una, alla prossima ti dò io la soluzione.

Ciao, Emanuele

[dak_71]

se mi dici che sono da togliere le combinazioni con i numeri comuni tra "CON" e "SENZA" matematicamente non lo so fare!

...come sempre mi manca il 100° cancello!

[emanuele.croci]

OK prendiamo una generica soluzione, ad es:

01367 (sai che ce ne sono 11 diverse di queste)

La soluzione è 01367 - 24589, nel senso che OGNI soluzione SUDDIVIDE le 10 cifre in 2 gruppi da 5 ben distinti, quelli che ti ho scritto sopra.

Per la soluzione scritta posso generare 2 tipi di numeri:

A) Quelli che hanno 01367 in posizione DISPARI e 24589 in posizione PARI

... ad es. 3264780915

B ) Quelli che hanno 01367 in posizione PARI e 24589 in posizione DISPARI

... ad es. 4053219786

Il tipo A) mi genera 11520 soluzioni (devo escludere gli zeri iniziali

Il tipo B ) mi genera 14400 soluzioni (non ha il problema degli zeri iniziali)

Totale 11520+14400= 25920 soluzioni

OGNUNA delle 11 combinazioni di base che hai trovato

(che per inciso sono tutte le combinazioni diverse di 5 numeri la cui somma = 17)

genera 25920 soluzioni

INFATTI se la tua combinazione ha lo ZERO, è penalizzata quando la usi in posizione DISPARI (hai lo zero, vedi caso A), ma non lo è quando la usi in posizione PARI (non hai lo zero, vedi caso B )

..ma se la tua combinazione NON ha lo ZERO, comunque lo zero sarà nell'altro gruppo di cifre, quelle che non hai scelto ma che comunque dovrai usare:

cioè avrai tutte le soluzioni (14400) se usi le tue cifre in posizione DISPARI, ma sarai penalizzato quando le usi in posizione pari (l'altro gruppo ha lo zero ed è penalizzato)

Quindi OGNUNA delle combinazioni di partenza GENERA 25920 soluzioni.

Le soluzioni di partenza sono 11, quindi 25920 * 11= 285120 SOLUZIONI !!

Questo è quanto!

Ciao, Emanuele

P.S. I numeri 14400 e 11520 discendono da:

disposizioni di 5 oggetti diversi = 5! =120

disposizioni di 5 oggetti diversi di cui uno non può andare in 1a posizione = 4*4!=96

Se non hai il problema dello zero: moltiplichi le combinazioni dei 2 gruppi

120*120=14400

Se hai il problema dello zero: moltiplichi le combinazioni dei 2 gruppi

120*96=11520

Comunque direi che c'eri quasi arrivato...

Modificato: 28 marzo 2007 da emanuele.croci