Indovina il numero civico il grande matematico - Ramanujan diede la soluzione al volo....

[ing.bennyp]

Un tizio in presenza del grande matematico indiano affermò: "abito in una strada al numero civico tale che la somma di tutti i numeri civici sul lato dove abito, numerate 1, 2, 3, etc, è uguale alla somma dei numeri civici sull'altro lato di casa mia. Se il numero di case è maggiore di 50 e minore di 500, qual è il mio numero civico?"

Ramanajan al volo disse: le case in totale sono 288 e tu abiti al 204.

Quando gli chiesero come avesse fatto disse candidamente, come era suo solito: "mi è venuta in mente la soluzione".

Il problema semplificato per 8 case, dà per risultato il numero 6, infatti:

1+2+3+4+5=7+8

Sicuramente il 204 è la soluzione corretta, infatti, in base alla formula di Gauss sulla somma di una serie:

1+2+3+4+.....+202+203=n*(n+1)/2=203*204/2=20706

a proposito Gauss scoprì tale formula quando stava alle elementari, se volete vi racconto come....

205+206+.........287+288=84*493/2=20706 sempre applicando la formula di Gauss.....che dannato....

Come avrà fatto quel diavolo di Srinivasa?

Ciao, Benny

PS. Emanuele questo problema è stato postato per te che chiedevi prove ardue...

Modificato: 14 marzo 2007 da ing.bennyp

[siggo]

Ciao,

io sono arrivato fino a qui:

Sia n il numero civico e m il numero totale di case.

La somma dei numeri civici da 1 a n-1 e' (n-1)*n/2; dalla formula di Gauss.

La somma dei numeri da n+1 a m e' (m+n+1)*(m-n)/2 (vedi l'altro post nel forum).

Quindi:

(n-1)*n/2 = (m+n+1)*(m-n)/2 ; lavorandoci un po' si ha:

n^2 = (m^2+m)/2

Funzione sia per 6 su 8 case che per 204 su 288.

Significa pero' che 204 e 288 sono gli unici numeri che soddisfano questa relazione tra 50 e 500.

Come mai, non lo so ...

Idee?

[ing.bennyp]

Ciao siggo,

la formula che hai fornito è corretta, ma non credo sia quella che fu applicata da Ramanajan, infatti dovresti andare a sostituire e trovare la coppia (numero civico,case) che la soddisfa per tentativi.

Per quanto ne so il genio costretto a fornire il metodo di calcolo asserì che appena aveva ascoltato il problema gli era apparso subito chiaro che la soluzione del problema dovesse essere per forza una frazione continua, pertanto si era chiesto quale fosse e in pochi istanti l'aveva trovata.

Una frazione continua è una frazione il cui denominatore è costituito da un numero più una frazione, all'infinito.

Inutile dire che la soluzione fornita da Srinivasa risolveva non soltanto il problema dato, ma era la soluzione dell'intera classe di problemi implicati dal quesito.

Ciao, Benny

Modificato: 18 marzo 2007 da ing.bennyp

[emanuele.croci]

Ciao Benny!

Sono appena tornato dall'estero e ho visto or ora questo problema.

Non mi chiamo Ramanujan, però posso darti un'altra soluzione:

49 - 35

Tuttavia non vale, l'ho trovata con un sistema scorretto...

Questo problema mi pare un po' difficile per noi comuni mortali:

trovare n, m intero per cui

n*n+n=2*m*m

Se qualcuno lo risolve e trova, poniamo, tutte le soluzioni è veramente un mostro...

Ciao, Emanuele

[emanuele.croci]

Ciao Benny,

se vuoi ti do anche...

1681-1189

e pure...

9800-6930

..adesso basta, mi sono stancato di fare dei conti, le prossime le lascio a voi...

Ciao, Emanuele

[ing.bennyp]

Ciao Emanuele,

scommettiamo indovino qual è l'imbroglio?

Hai scritto un piccolo sw e hai inserito la formula in un ciclo FOR...NEXT.... con un IF...THEN al posto giusto?

Ciao, Benny

Modificato: 19 marzo 2007 da ing.bennyp

[bigjm87]

supponendo che il numero di case k sia =sulla destra e sulla sinistra

si fa la sommatoria per n che va da 0 a k di 2n

e si fa la sommatoria per n che va 0 a k di 2n+1 per la proprietà di linearità la sommatoria si divide in 2 e viene sommatoria che va da 0 a k di 2n sommatoria che va da 0 a k di 1 che fa 0 le si eguaglia si fa il limite x n che tende a k si passa all integrale

cosicche l'integrale di 2n=n^2

n^2=n^2

n=n

k=K

cvd

[emanuele.croci]

Ciao Benny,

più banalmente lo faccio a mano con Excel!

Ormai è una droga, guarda questa soluzione qui sotto.

1940449 1372105

E' vero che sto barando, però anche nel barare uso una tecnica che mi fa capire (forse) come ha fatto Ramanujan....

Ciao, Emanuele

P.S.: se no, anche con un software .... 2 milioni al quadrato = 4 mila miliardi di combinazioni... non potrei trovare soluzioni così alte. Chi trova la successiva?

Modificato: 19 marzo 2007 da emanuele.croci

[emanuele.croci]

E pure una incredibile...

11309768 7997214

Cavolo, non mi fermo più!

Comunque il meccanismo per trovare nuove soluzioni è molto intrigante ed elegante!

Ciao, Emanuele

[ing.bennyp]

Non ho capito che cavolo hai dimostrato, vedo due identità.

Boh, chi ti capisce è bravo....io non ti capisco.....

Ciao, Benny

PS. Emanuele guarda che ho dato un accenno alla soluzione, si tratta di frazioni continue, ma mi raccomando non applicare il teorema di bigjim

[oiuytr]

Io non ci ho capito un piffero, pero' mi piacerebbe sapere dove abita il tizio visto la bislacca numerazione di quella via (normalmente su un lato ci sono i numeri dispari e sull'altro i pari...)

[ing.bennyp]

Hai ragione Cesco,

ma non sempre è così, infatti alcune volte, per vie molto lunghe, i numeri pari e dispari sono dalla stessa parte e di fronte al numero 1 puoi trovare ad esempio il numero 775.

Se vuoi fare mente locale all'esempio addotto, immagina che tutte le case siano dallo stesso lato della strada, numerate 1,2,3, etc. Una persona afferma la somma dei numeri civici delle case alla mia destra è uguale a quella della mia sinistra. In tale caso, se le case sono meno di 10, nella fattispecie 8, il tizio abiterà al numero 6, infatti, alla sua destra ha 1+2+3+4+5=15 e alla sua destra avrà 7+8=15.

Chiaro, ora.

Ciao, Benny

Modificato: 19 marzo 2007 da ing.bennyp

[emanuele.croci]

Ciao,

premetto che le prime 9 soluzioni del problema sono:

8 6

49 35

288 204

1681 1189

9800 6930

57121 40391

332928 235416

1940449 1372105

11309768 7997214

Un metodo pratico per trovare nuove soluzioni è abbastanza semplice e può essere svolto anche con una calcolatrice o a mano (con mooooolta pazienza....)

Io ho fatto così:

1) parto dalla considerazione che devo trovare delle coppie di INTERI (n,m) tali che:

n*n+n=2*m*m

ATTENZIONE! Per quanti fanno dimostrazioni varie o considerazioni: queste equazioni (talvolta chiamate Equazioni Diofantine) ammettono come soluzioni solo numeri interi e sono MOLTO più difficili da risolvere delle equazioni normali. Salvo casi particolari si devono usare tecniche di matematica superiore che ad es. a ingegneria io non ho studiato, credo si trattino solo a matematica...

2) Noto che, per come è fatta l'equazione, sarà all'incirca m=n/sqrt(2)... anzi un po' di più perchè c'è il +n. Infatti, se provate dalla mia lista di soluzioni, ogni M è dato da INT(N/sqrt(2))+1 (approssimazione all'intero superiore).

E' dimostrabile abbastanza facilmente che deve essere così (questo lo tralascio)

A questo punto, avendo ridotto a 1 grado di libertà il problema, "faccio la prova" per ogni n e in qualche centinaio di tentativi, anche a mano, trovo le prime 3 soluzioni

3) A questo punto NOTO CHE il rapporto tra una soluzione e la successiva tende asintoticamente ad un numero che vale circa 5.828434: potete fare la prova con le soluzioni che ho pubblicato.

Addirittura noto che il rapporto decresce ogni volta di un fattore che tende a 5.828434 !! ...vedi tabella...

Sol(x) fi=Sol(x)/Sol(x-1) deltafi deltafi(x)/deltafi(x-1)

288 5.87755102 0.24744898 6.073043478

1681 5.836805556 0.040745465 5.869092653

9800 5.829863177 0.006942379 5.835367167

57121 5.828673469 0.001189707 5.829616763

332928 5.82846939 0.00020408 5.828631203

4) Essendo il rapporto tra le soluzioni MOLTO preciso, a partire da una soluzione posso ipotizzare la successiva moltiplicandola per il rapporto fi(x)

Questa operazione è assai affidabile: talvolta trovo la soluzione successiva al 1° colpo, talvolta in un range di +- 10 numeri da quella prevista

5) posso ipotizzare che questo rapporto sia definibile come funzione continua del tipo

1/(n+1/(n+1/n+1/(n+1/(n+1/n+......)))))))))))))))))

Tuttavia, non avendo nozioni di funzioni continue, se qualcuno me lo spiega gliene sarei grato!!

Ciao, Emanuele

Modificato: 20 marzo 2007 da emanuele.croci

[ing.bennyp]

Ciao emanuele,

guardati questo link http://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua

è veramente interessante, c'è il metodo per trovare la frazione continua di un qualsiasi numero e alla fine ci sono altri link interessanti.

Ciao, Benny

[emanuele.croci]

OK Benny,

grazie per il link, ma quello che non capisco è come collegare le frazioni continue con la soluzione di questo problema.

Cioè mi serve il passaggio che mi porta da:

n*n+n=2*m*m , trovare soluzioni intere

a:

aaahhh...! ma allora ci vuole la frazione tal dei tali!

Scusa l'ignoranza, ma se qualcuno non me lo spiega da solo non ci arrivo!

Ciao, Emanuele

[pao645]

Ciao a tutti. Sono nuovo.

Ho letto questo interessante forum.

Non sono un matematico, sono un ingegnere elettronico, ma volevo aggiungere due cose che ho notato sulle due serie proposte (le soluzioni n ed m).

La prima è abbastanza banale, cioè che il rapporto fra n ed m tende alla radice quadrata di due (infatti m=sqrt((n^2+n)/2) e per n molto grande (tendente all'infinito) il termine n^2 è dominante).

La seconda è che il numero 5.828427 (limite asintotico del rapporto tra n ed n-1, ma anche tra m ed m-1) altri non è che 3+2*sqrt(2).

Il perché non lo so, ma l'ho notato e volevo segnalarlo.

Infine, magari un po' per pignoleria, ma aggiungerei in testa alla lista di soluzioni anche quella banale n=1 ed m=1.

In pratica, se uno abita da solo in quella via...

[emanuele.croci]

Ciao,

la prima osservazione è BASILARE (senza quella non avrei trovato le 9 soluzioni...)

la seconda è più interessante, il rapporto è 5.828... è tendente a 3+2sqrt(2)

Però la cosa non mi dà ulteriori indizi per trovare un qualche tipo di formula che "spieghi" il problema.

Se qualcuno riesce a fare una buona pensata.

Ciao, Emanuele

[pao645]

Beh, ho cercato su wikipedia notizie sulle frazioni continue, è molto interessante però siccome neanch'io le ho studiate ad ingegneria, con quel che è scritto lì mi risulta difficile applicarle al nostro problema nella maniera che desidereresti tu (e anche io in realtà).

Però, un po' empiricamente, ho trovato il modo per trovare tutte le possibili soluzioni senza dover cercare "a tentativi" la coppia di numeri che soddisfa il problema. Insomma, ecco la formula "a colpo sicuro":

prima coppia (soluzione banale) (n,m) = (1,1)

dopodiché:

m(k+1)=arrotonda(m(k)*(3+2*radq(2)))

n(k+1)=arrotonda(m(k+1)*radq(2))

Provare per credere...

Paolo

[pao645]

Un'altra cosa sulle frazioni continue.

Rappresentano un elegante sistema per raffigurare i numeri irrazionali e quelli razionali periodici.

Infatti con la classica notazione decimale, i numeri irrazionali sembrano proporre una sequenza di cifre dopo la virgola, senza alcuna regola apparente. Ciò rende impossibile predire, in qualche modo, la cifra successiva a quella rappresentata.

I numeri periodici invece propongono una regola, nota a tutti fin dalle elementari (almeno ai tempi miei, chissà oggi??).

Con le frazioni continue, invece, i numeri periodici si possono scrivere con una sequenza finita di cifre e quelli irrazionali (almeno le radici quadrate dei numeri naturali e qualche altro) con una periodicità o almeno con una "regola".

Potete trovare molti esempi su wikipedia, notevole la rappresentazione del numero di Neper (la base dei logaritmi naturali "e").

Alcuni esempi:

2/3 anziché 0,66666.... si può scrivere 0+1/(1+1/2) oppure (0;1,2)

radq(2) anziché 1,414213.... si può scrivere 1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(...)))) oppure (1;2,2,2,2,2,2....) con evidente periodicità.

3+2*radq(2) si scrive (5;1,4,1,4,1,4....)

e anziché 2,7182818.... si può scrivere (2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10....).

Sorprendente quest'ultima, a mio avviso! La successione dei numeri pari intervallata da due "1"...

Pi greco, invece, è più deludente...

Ciao a tutti.

Paolo